原对音乐一窍不通,最近对古琴感兴趣起，开始学习乐理，偶有心得，就写了下来，想把繁复的理论整理出一些简单的纲目来，与和我一样的朋友共赏，同时就正于行家。
声音
谈到音律，现要说说人耳听觉的一些特点，人能够听到的声音频率极限是16--20000赫兹，其中敏感的声音频率在1000-3000赫兹。一般人能够发出的声音频率是最大范围是64--1300赫兹，一架钢琴上发出的声音在27.5-4096赫兹（基频）。 人耳对声音敏感的是其频率的比值，而不是绝对频率，比如100赫兹的声音与200赫兹的声音听起来大不相同，可1100赫兹的声音与1200赫兹的声音听起来区别不大，对声律的研究是以这点为出发的。研究音律常用到的数学工具是对数,如果几个数字间的比例相等,往往不易直接看出,如果计算它们以同一个数为地的对数,那这几个数字的差是相等的,比较一目了然。音律上一般计算一个音和基准音频率比的以2为底的对数，这样频比的对数是1的两个音频率差一倍，也就是一个八度，是2的两个音差2个八度。因为以2为底的对数计算出来常常是小数，使用不便，所以把对数值乘以1200并取整，这样得到的值就叫“音分”，一个八度合1200音分。例如第一个音是261.63赫兹，第二个293.66赫兹，第三个329.63赫兹，后两个对第一个的音分分别是：(log(293.66/261.63)/log2)*1200=200和(log(329.63/261.63)/log2)*1200=400，很容易看出三者两两之比相同。
律制
律制就是解决以何种规律制定一套标准来刻画、记录音乐的问题。常见律制有十二平均律、纯律和五度相生律，这三种律制实际是规定如何在一个长是8度（2倍频率）的尺子上打刻度，以用来度量声音的不同解决方法。五度相生率和纯率都是按照实际操作的2倍频率、3倍频率和5倍频率来打刻度的，打出来的是一种不平均的刻度，而十二平均律则是用对数计算出来的一种人为但均匀的刻度。如果以整个尺子长1200音分计，五度相生律的尺子上7个刻度间隔分别是204，204，90，204，204，204，90；纯率尺子上7个刻度间隔分别是204，182，112，204，182，204，112；十二平均律的尺子上7个刻度间隔分别是200，200，100，200，200，200，100。同一个音用不同的尺子去量，就可能落在不同的刻度上，换句话说,如果我有一张纸上写着"1,4,5,2"这几个音(乐谱),我用不同的尺子来实际画(唱)出来,就会有不同的点（声音）,这就是几种律制的实际区别.不同律制下各音级的位置和间隔如下（单位是音分）
音级 1 2 3 4 5 6 7 8
五度相生律音位 0 204 408 498 702 906 1110 1200
五度相生律音距 204 204 90 204 204 204 90
纯率音位 0 204 386 498 702 884 1088 1200
纯率音距 204 182 112 204 182 204 112
十二平均律音位 0 200 400 500 700 900 1100 1200
十二平均律音距 200 200 100 200 200 200 100
这个尺子记录的是声音频率的比值，所以你可以把尺子的起点定在任意高度，不论从300赫兹还是400赫兹起，听着都还像那首歌。可是如果你想跟朋友合唱，那你俩尺子起点最好选同一个点，否则同一个音符，在你俩这里就是两个音儿。
对于绝对高度，也有一种标记方法，给各个频率起名字，叫做C2,D2,E2,F2,G2,A2,B2,C1,D1,E1,F1,G1,A1,B1,C,D,E,F,G,A,B,c,d,e,f,g,a,b,c1,d1,e1,f1,g1,a1,b1,c2,d2,e2,f2,g2,a2,b2,c3,d3,e3,f3,g3,a3,b3,c4,d4,e4,f4,g4,a4,b4...，规则是按照十二平均率的办法确定各个音的频率比值（间隔），既不分大小写,同一级别的d:c=2K,e:d=2K,f:e=K,g:f=2K,a:g=2K,b:a=2K,下一级别的c:a=K，其中K是2的12次平方根。这些音组成了一个空档间隔不同的梯子，每相邻级别的A（或B或C等等）的频率差正好是2倍，最后把a1的频率钉在440赫兹上（国际第一高度定义）。这样就有了度量绝对音高的一个尺度。
三分损益律
三分损益律是中国古代使用的主要律法，它实际是五度相生律的一种形式。 三分损益法的定律方法是：先选一段震动体（后面以弦为例）认为它的声音称作“宫”，把它的长度依次乘以4/3和2/3来得到不同长度的弦，这些弦震动的声音就依次称作徴、商、羽、角。假设宫的弦长是81，计算出各音的弦长就分别是：（宫81） *4/3-> （徴108） *2/3-> （商72） *4/3-> （羽96） *2/3-> （角64），把这几个音弦长按顺序排列就是:（徴108）（羽96）（宫81）（商72）（角64）.大家知道,材质、粗细、张力等条件都相同时，弦音的频率和长短成反比，越短声音越高，依此可以计算各音间的差距，如羽对徴=(log(108/96)/log2)*1200=204音分，宫对羽=(log(96/81)/log2)*1200=294...，这就得出了前面说过的五度相生律的律差。为什么又叫五度相生律呢，因为长度比是2/3的两弦频率比是3/2，合702音分，西洋音乐中把这个差距叫做纯5度，长度比4/3的弦频率比是(3/2)/2，相当于长了一个纯五度，又往下拉了一个八度（倍频），所以三分损益法的实质是从一个音开始，上纯五度下拉八度定一个刻度，然后再上纯五度定一个刻度，再上纯五度下拉八度定一个刻度...
生律过程（假定宫的长度是81）:
顺序 1 2 3 4 5
音级 宫 -> 徴 -> 商 -> 羽 -> 角
长度乘数 *4/3 *2/3 *4/3 *2/3
各音长度 81 108 72 96 64
把各音长度依次排列，并按长度比换算出声音比例的音分值得到：
音级 徵 羽 宫 商 角 清徵
各音长度 108 96 81 72 64
音位 0 204 498 702 906 1200
音距 204 294 204 204 294
十二律吕
按照“三分损益律”再往下推算，可以得到十二律，在《吕氏春秋·仲夏纪·音律篇》中有着详细的记载：“黄钟生林钟，林钟生太蔟，太族生南吕，南吕生姑洗，姑 洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹 钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生，益之一分以上生； 三分所生，去其一分以下生。黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、 仲吕、蕤宾为上，林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。”也就是黄钟弦长*2/3得出林钟的弦长，林钟乘4/3得到太蔟的弦长，然后再乘2/3。。。但到蕤宾生大吕那里，按顺序该乘2/3,但改为4/3,后面也依次改,就像7月是大月,8月本改小月可改成了大月,后面的大小月也都变一样. 将得到的十二律按弦长顺序排好之后是黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑冼、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟，可以计算出他们之间的音分差距分别是114、90、114、90、114、90、90、114、90、114、90。因为是每隔八位生一律，所以这种生律方法叫做“隔八相生法”，十二律中奇数律为阳律，又叫做六律，偶数律为阴律，又叫做六吕，平常我们经常听说的“十二律吕”也就是指这个。十二律各高一个八度(或频率高一倍或弦长短一半)的音分别称作"清黄钟"、"清大吕"...；十二律各低一个八度的音分别称作“变黄钟”、"变大吕"...。黄钟在一定的时期会选定一个比较固定的频率，所以这十二律吕就确定了一套绝对音高的度量体系。
生律过程（假定黄钟的长度是177147，即3的11次方，这样其他各律对应的长度都可以是整数）:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
黄钟 林钟 太蔟 南吕 姑洗 应钟 蕤宾 大吕 夷则 夹钟 无射 仲吕 清黄钟
*2/3 *4/3 *2/3 *4/3 *2/3 *4/3 *4/3 *2/3 *4/3 *2/3 *4/3 *2/3
177147 118098 157464 104976 139968 93312 124416 165888 110592 147456 98304 131072 87381.33
把各音长度依次排列得到：
音名 黄钟 大吕 太蔟 夹钟 姑洗 仲吕 蕤宾 林钟 夷则 南吕 无射 应钟 清黄钟
长度 177147 165888 157464 147456 139968 131072 124416 118098 110592 104976 098304 093312 087381.33
音位 0 114 204 318 408 522 612 702 816 906 1020 1110
音距 114 90 114 90 114 90 90 114 90 114 90
音位音距以音分为单位
“三分损益律”所定音律有个缺陷，就是生率顺序的最后一位仲吕如果按规律再生一律，那么得到的并不是清黄宫(黄宫弦长一半)，而是0.493倍,差了23.5音分。也就是说，黄钟音还不了原，如果不在11次上停下来，继续下去可以生出无数多的音来。关于黄钟音归位的问题一直困绕着中国古代音乐家。直到明代，才由朱载堉在世界音律史上首次建立十二平均律的数理理论，即采用2的12次方根作为生律的倍数，使得黄钟音终于能够顺利的“归位”。
泛音
一根拉紧的琴弦在发生时，不但有整根弦作为波长的震动，而且同时存在着分别以弦长的1/2、1/3、1/4、1/5...为波长的震动，这些震动发出的声音频率依次是基频、基频的2倍、基频的3倍...，这些倍频音统称泛音。由于基频音的振幅最大，所以它的响度最大，其他倍频的音响度依次减少。各种乐器的震动发声都有泛音存在，基音的泛音数目和相对强度就决定乐器的音色。
琴弦的二倍频泛音震动的特点是整弦上有两个波长，整弦长1/2处是震动的节点，这里二倍频泛音的震幅为0，而这个节点确正是基频震动的波腹，振幅最大，如果用手指肚轻触这个节点，会限制它的震动，基频被抑制，就能听到清晰的倍频声音。同样如果在3倍频音、5倍频音的节点出处抑制振幅，就听到到3、5倍频音，只是音量比基音要小，这就是泛音演奏的原理。
古琴的徽位就是弦上部分泛音节点的标记。各徽位在全弦上的位置是一徽(1/8)、二徽(1/6)、三徽1/5、四徽1/4、五徽1/3、六徽2/5、七徽1/2、八徽3/5、九徽2/3、十徽3/4、十一徽4/5、十二徽5/6、十三徽7/8，位置的分母数就是基频的频率被数，比如泛十一徽发音是散弦的5倍高。
琴律
古琴定弦的方法有多种，现在来分别分析:
定弦法一:
使用泛音定弦:
七弦七徽泛音应与四弦九徽泛音等高。
四弦十徽泛音应与六弦九徽泛音等高。
六弦七徽泛音应与三弦九徽泛音等高。
三弦十一徽泛音应与五弦十徽泛音等高。
五弦七徽泛音应与二弦九徽泛音等高。
四弦七徽泛音应与一弦九徽泛音等高。
一弦七徽泛音应与六弦散音等高。
二弦七徽泛音应与七弦散音等高。
古琴各徽位在全弦上的位置是一徽(1/8)、二徽(1/6)、三徽1/5、四徽1/4、五徽1/3、六徽2/5、七徽1/2、八徽3/5、九徽2/3、十徽3/4、十一徽4/5、十二徽5/6、十三徽7/8,某弦的散音就是它基频的音,各徽位泛音就是各徽位位置分母数的倍频音,例如十徽泛音就是散音的4倍频。这样“七弦七徽泛音应与四弦九徽泛音等高”实际就是七弦散音高的2倍与四弦散音高的3倍相等.把上面的文字可以改写成函数组如下，
2七=3四
4四=3六
2六=3三
5三=4五
2五=3二
2四=3一
2一=1六
2二=1七*
如果把一弦频率定为1,则各弦频率可以计算出来分别是:一1、二10/9、三4/3、四3/2、五5/3、六2、七9/4,各音相对1弦的音分值分别是:182、498、702、884、1200、1404，相临两弦间相对音分是：182、316、204、182、316、204，可以明显看出，这种定弦方法是按照纯律定弦。定弦法中“二弦七徽泛音应与七弦散音等高”实际是近似值，两者还差22音分。
下面的图是以五弦=A为准，计算十二平均律C、D、E、F、G、A、B、c、d各音与A的距离（音分），和各弦音与五弦距离：
C D E F G A B c d
-900 -700 -500 -400 -200 0 200 300 500
-884 -702 -386 -182 0 316 520
一 二 三 四 五 六 七
可见一、二、三、四、五、六、七分别等于C(加16音分)、D(减2音分)、F(加14音分)、A、c(加16音分)、d(加20音分)
定弦法二:
正调（F调）的调弦法。调好以后七条弦从一弦（宫弦）至七弦（武弦）的散音是5、6、1、2、3、5、6 (1=F)。
第一、要准备一个标准音A的音哨（或音*）。
第二、在吹音哨A的同时大指七徽勾五弦（按音），使大七勾五和音哨的发音两音取同高。
第三、现在就可以用泛音调弦了，我们先用名指五徽泛挑七弦，再迅速用食指四徽泛勾五弦，使两弦泛音取同高。因为五弦是和标准音哨A校准过的，所以七弦应以五弦为标准。如七弦不准调七弦（不要再动五弦了）。
第四、现在七弦和五弦都调准了。我们就可以拿七弦来调四弦了。方法是这样的：大指七徽泛挑七弦得音后迅速名指九徽泛勾四弦。使两弦泛音同高。同理七弦已调准，所以两弦不同高时调动四弦。
第五、现在七、五、四三条弦都已调好了。我们拿四弦来调六弦，名指五徽泛挑六，食指四徽泛勾四弦，使两弦同高。同理，四弦已调准，如六弦不准，调六弦。
第六、现在四、五、六、七四弦皆准了。我们就可以拿六弦来调三弦了。大指七徽泛挑六弦得音后迅速名指九徽泛勾三弦，使两弦取同高。如果三弦不准就可以以六弦为基准调三弦了。
第七、大指七徽泛挑五弦得音后迅速名指九徽泛勾二弦。使两弦取同高。如二弦不准就可以以五弦为基准调二弦了。
第八、最后我们拿四弦来调准一弦。方法是：大指七徽泛挑四弦得音后迅速名指九徽泛勾一弦。使两弦同高，以四弦为基准调一弦。
至此，七条弦都已调准。
也把上面的文字也写成公式：
2五=A
3七=4五
2七=3四
3六=4四
2六=3三
2五=3二
2四=3一
如果把一弦频率定为1,则各弦频率可以计算出来分别是:一1、二9/8、三4/3、四3/2、五27/16、六2、七9/4。各音相对1弦的音分值分别是:204、498、702、906、1200、1404，相临两弦间相对音分是：204、294、204、204、294、204，可以看出，这种定弦方法是按照五度相生（三分损益）律定弦。
下面的图是以五弦=A为准，计算十二平均律C、D、E、F、G、A、B、c、d各音与A的距离（音分），和各弦音与五弦距离：
C D E F G A B c d
-900 -700 -500 -400 -200 0 200 300 500
-906 -702 -408 -204 0 294 498
一 二 三 四 五 六 七
可见一、二、三、四、五、六、七分别等于C(减6音分)、D(减2音分)、F(减8音分)、A、c(减6音分)、d(减2音分)
定弦法三:
按音定弦
七弦散音应与四弦九徽按音等高。
六弦散音应与四弦十徽按音等高。
五弦散音应与三弦十徽八分按音等高。
四弦散音应与二弦十徽按音等高。
三弦散音应与一弦十徽按音等高。
二弦七徽按音应与七弦散音等高。
一弦七徽按音应与六弦散音等高。
七弦九徽按音应与五弦七徽按音等高。
六弦十徽按音应与三弦散音等高。
五弦十徽按音应与七弦散音等高。
古琴各徽位在全弦上的位置是一徽(1/8)、二徽(1/6)、三徽1/5、四徽1/4、五徽1/3、六徽2/5、七徽1/2、八徽3/5、九徽2/3、十徽3/4、十一徽4/5、十二徽5/6、十三徽7/8,由于弦的长度与频率成反比，所以“七弦散音与四弦九徽按音等高”的含义就是七散音频率与四弦散音频率的3/2倍等高.把上面的文字改写成等式组如下：
1) 1七=3/2四
2) 1六=4/3四
3) 1五=三弦十徽八分
4) 1四=4/3二
5) 1三=4/3一
6) 2二=1七
7) 2一=1六
8) 3/2七=2五
9) 4/3六=1三
10) 4/3五=1七
如果把一弦频率定为1,则各弦频率可以计算出来分别是:一1、二9/8、三4/3、四3/2、五27/16、六2、七9/4。各音相对1弦的音分值分别是:204、498、702、906、1200、1404，相临两弦间相对音分是：204、294、204、204、294、204，可以看出，这种定弦方法与定弦法二是相同的.